魔方陣の話

魔方陣とは連続した異なる数字を将棋盤のような正方形のマスに入れて、縦、横、斜めの数字の和をすべて等しくなるようにしたものです。
中1の教科書にも載っていて、中3の模試の問題にも出てきたことがありました。
たとえば、図のように1~16の数字を4×4のマスに入れると、それぞれの10組の4つの数字和がすべて34になります。

さらに、この魔方陣は「完全4方陣」と呼ばれ、対角線をずらした「汎対角線」の斜めの4つの数字の和も同じく34になっているのです。

ここまでで16組になりましたが、実はあと20組ほど和が34になる組があります。
それが次のパターンの場所です。

結局、和が34になる4つの数字の組は全部で36組もありました。
このような「完全4方陣」は全部で48種類作れることがわかっていますが、さらに「完全5方陣」になると3600個も作れることがわかっています。
昔から数の魅力に取りつかれた人々は、こんな不思議な数字の配置を夢中になって探していたような気がします。

正しい、って何だろう

語句の用法として「的を射る」は正しく「的を得る」はまちがった表記だとされていた。ところが、実は「的を得る」でもまちがっていないらしい。
誤っているとされた原因は三省堂の国語辞典に「誤用である」と書いてあったかららしく、第7版の改版にあたって再検証をした結果、「得る」を「うまく捉える」の意味ととらえれば「的を得る」も誤用にはならない、とされたのです。
『「的を得る」は「的を射る」の誤り』という従来の記述は撤回されました。
言葉が正しいか正しくないかは人間が決めてよいことのようだ。

 

数学でも言葉の意味は「定義」としてきちんと人間が定めて使います。
たとえば二等辺三角形の定義は
「2つの角が等しい」ではなく「2つの辺が等しい」三角形のことです。
ところで、ある言葉を説明するためには、別の言葉が必要になります。

 

そして、さらにその言葉の意味を説明するために、また別の言葉が・・・
・・・という具合に、どんどんもとをたどればついには説明できない大もとの言葉にたどり着くでしょう。これを無定義用語といいます。

 

[無定義用語]→[用語A]→[用語B]→・・・

 

無定義用語は定義しないで使う用語のことです。
たとえば、「点」とか「直線」とか「平面」とかは無定義用語とされています。

 

その上で、「正しい」ことを「正しい理由」を示して誰の目にも明らかに毅然と天下に示すことが数学の使命なのです。「数学の命=正しいことを証明する」です。

 

証明されて正しさが保証されたことがらを定理といいますが、「正しい」ことを説明するためには別の正しいことが理由となっています。用語と同じように、これももとをたどっていけば、ついには証明できない大もとにたどり着きます。
数学ではこれを「公理」と呼んでいます。いくつかの公理の集まりが公理系です。
つまり「正しいことにしよう」とみんなで決めた内容のことです。

 

[公理(系)]→[定理A]→[定理B]→・・・

 

有名どころでは「平行線の公理」というのがあります。
「直線と点Pがあるとき、点Pを通りこの直線と平行な直線は1本しかない」
というのが平行線の公理です(図参照)。

当たり前じゃないか、と思いますよね。これは人間がどうこう決めることではなく、証明して導き出されること(定理)だと確信できますよね。
そこで昔の人も「証明してみせよう」と、チャレンジすることになります。
ところが2000年もの間、誰も成功しません。
やがて人々は気づくのです。もしかしたらこれは証明できないことなのかもしれない・・と。

 

数学とは人間が「正しいこと」をかってに決めて、それをもとにして次々と他の「正しいこと」を見つけて証明していく学問なのです。いくつかの正しいと決めたこと(公理)からスタートして、何も矛盾が発生しなければ、その公理たち(公理系)は世に認められるのです。

 

実は「平行線の公理」は人間が決めてよい、大もとの内容だったのです。だから、どのように決めても理論的には何も矛盾は起きないのです。点Pを通る平行線がたくさん引けると決めても、1本だけ引けると決めても、1本も引けないと決めても、どれに決めても矛盾のない図形の世界が成り立ってしまうのです。
数学では「矛盾しない⇒正しい」なんです。
今、学校で勉強している図形の世界は「平行線が1本しか引けない世界」について、ということなのです。

 

じゃあ、平行線が2本引ける世界を見せてくれよ、と言いたくなりますよね。あるわけないじゃん、と絶対に思いますよね。でも、あるんです。見せることもできるんです!

 

なんだかタヌキにつままれたような話ですね。えっ!? キツネにつままれるのが正しい日本語でしたっけ? でもタヌキでも正しいよ、という日が来るかも。

 

数学では「ありえない」と思えることが「実はありえる」ということがけっこうたくさんあります。高校、大学と進み、なるほど、そういうことか、と、そのからくりを知る喜びも勉強するひとつの楽しみではないかと思っています。

数学勉強方法

最強の数学勉強方法7つのススメ

 

1 計算練習のやり方
計算が得意な人、絶対に間違えない人は途中式は不要ですが、計算をミスる人、100%正解にならない人は途中式をきちんと書いて、ミスしないように指導を受けなおしてください。

 

2 経験力を高める練習を
数学は道具(公式やルール)を使って問題の答を見つけるゲームです。経験がなければ、答を探せないし、道具の使いかたを知らなければ解けません。
数学は「問題」から「解答」を見つけ出す犯人捜しの推理小説です。
そこで、たくさん練習を積んで、数学の考え方を身につけなければなりません。
とりあえず質より量。数打てば当たる、数打てば少しずつ記憶に引っかかって腕前も上がります。
「問題⇒解説」のパターンに、めいっぱい大量に目を通して経験力を蓄えましょう。
解答・解説はすぐ見てよいです。時間をかけて自力で解くことも大切ですが、それ以上に習い始めは解き方のパターンをたくさん身につけ、カンと経験を増やすほうが先です。

 

3 答合わせのやり方
正解だけに ○ をつけましょう。間違いにすぐ×をつけて答を写さないでください。
できない問題は「放置」「消去」して、後でじっくりと研究します。

 

4 できない問題との出会い
解けない問題をやって、それが解けるようになったとき、自分の能力がアップします。
だから、
「できた問題」:「できなかった問題」=2:8
くらいがバランスよい勉強だと思います。
解答・解説を見て「こんな方法、思いつかないよ」という気持ちになったときに(ちょっとショックですが)、学力がアップする瞬間です。
できない問題が多くても気にしなくてよいです。
勉強は筋トレです。やさしい問題ばかりやっていたら感覚がにぶってしまいます。部活やゲームと同じで、弱い相手とばかり対戦していたら強くなれません。

 

5 長文読解こそすべて
最近の入試問題は長文化しています。必要な能力は「長文を論理的に正確に読み解く力」なのです。また、解説を穴埋めにしたような問題もあります。そこで、
「読解力」こそすべての基本。
読解力は国語だけではありません。数学でも長文を読み解く力がなければいけません。
できない問題、できた問題でも、解説を熟読して長文読解力を鍛えてください。

 

6 集中力こそすべて
同じ結果を生み出すなら、なるべく短い時間で済ませたいものです。
(それにテストって制限時間がありますよね。)
「だらだらやる」「何かをしながらやる」というのは「やった気になる」だけの無駄な時間となるだけでなく、あなたの考えるスピード力もダウンさせてしまいます。
もし、集中できない状態になったら、きっぱりやめましょう。 眠かったら寝ましょう。遊びたかったら遊びましょう。携帯打ちたかったら打ちましょう。ミュージックも聞きましょう。気分転換も大切ですから、ちがうことをやって気持ちをリフレッシュさせましょう。今なにをすべきなのか、という時間の切り替え、けじめが大切です。

 

7 ノートについて
ノートは必要です。読める字で計算をきちんと書くことは当然、解いた過程を順序良くストーリーにして残してください。
お勧めは、1ページを縦に区切って、2列に使う方法です。
数学では1ページは横が長過ぎるので、半分がちょうど良いです。

 

質問などありましたらこちらへ
hiroba@chibashinken.co.jp
可能なかぎりお答えしたいと思います・・・

単純だけど最強の数学勉強方法を・・

にが手だけど得点を取れるようにしたい人は、次の2つの方法をぜひ試してみて下さい。

 

1 問題を解くための道具(考え方)を大量につめ込む
数学は道具(公式やルール)を使って事件(問題)の犯人(答)を見つけるゲームです。経験がなければ、犯人の居場所も探せないし、道具の使いかたを知らなければ犯人を捕まえられません。数学は「問題」から「解答」を見つける推理小説です。
あなたはまだまだ新米(しんまい)の刑事なので、事件を前におたおたしている状態です。早くいろいろな事件を解決できるように腕をみがきましょう。
つまり、たくさん修業を積んで、道具の使い方を身につけなければなりません。
「問題⇒解説」の大量パターンに、めいっぱい目を通して経験力を蓄積して下さい。

 

2 自分のレベル以上の問題(相手)にどんどん挑む
問題が解けるといい気分です。解けないといやな気分や不安な気持ちになります。だけど、解ける問題をいくらやっても自分の能力はほとんど上がっていないのです。
(まあ、復習と記憶の定着という練習にはなりますが・・)
解けない問題をやって、それが解けるようになったとき、初めて自分の能力が増加するのです。だからふだんの勉強では、
「できた問題」:「できなかった問題」=2:8
くらいがちょうどよいと思っています。
問題が解けなくても、全然心配しないで下さい。
解答・解説を見て「こんな方法、思いつかないよ」というショックで悔しい感情がわき上がったとき、あなたの能力が決定的にアップした瞬間です。
勉強は筋トレです。やさしい問題ばかりやっていたら感覚がにぶってしまいます。部活やゲームと同じで、弱い相手とばかり対戦していたら強くなれません。

 

3 興味を持つ?
こう書いている私も、中学・高校ぐらいのときは数学にはほとんど興味がありませんでした。特に高校になると、わけの分からない記号がやたらにたくさん出てきて、いったいこんなことをして、何の意味があるんだ、という気分になり通知表など平気で「3」とか取っていました。
だから、「興味を持ってやる」というのはほとんど無理です。それは分かっています。
今は、ささやかな「問題が解けた爽快感」と「入試を突破する手段」と覚悟を決めてがんばりましょう。
しかし、ここではいちおう、数学にはどういうおもしろい世界があるのか、話題を一つだけ紹介しておこうと思います。
中3のみなさんは、もう「三平方の定理」は習いましたか?
数学にはいろいろな定理がありますが、その中でも1924年に発見された
「バナッハ・タルスキーの定理」というのは超謎に満ちた抜群の定理です。
これは
「球を5つに分割し、うまく組み替えると、元の球と同じ球を2つ作ることができる」という定理です。
どうです! ありえない! でしょう? 球が無限に増えてしまいます。
ところが、この定理が正しく間違いのないことは厳密に証明されています。
どういうことでしょう? 今、60ページほどのこの定理の証明が手もとにありますが、これを読んでいくとすっきり納得できるのです。不可能を可能にした、犯人の手口、ミステリーの謎、手品のタネが「なるほど」と理解できて、無事、事件解決となるのです。
前に書いたように、「数学=推理小説」です。

 

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最強の数学勉強方法を考える

まず基本的にこの勉強方法で・・

 

数学で得点を取れるようにしたい人は次の方法を試してみて下さい。

 

1 計算問題をやるとき
計算が得意な人、絶対に間違えない人は途中式など不要です。
自由に好きなようにやって下さい。答が合っていれば何も問題はありません。
しかし、ときどき計算をミスる人、100%完全にできない人は要注意です。
先生の言われた通りに途中式をきちんと書いて下さい。
そしてどこでミスをするのか、チェックを入れてもらって下さい。

 

2 答合わせをするとき
バツをつけたり、すぐに答を写したりしないで、正解のマルだけをつけましょう。
解答を赤ですぐ写すと、見直しして問題が解けた気分になってしまいます。
ひとまず、できない問題は「放置」です。
だいじにとっておいて、後でじっくりと解決します。
間違えた問題や、解けない問題を理解したときに、新しい進歩があるからそれらは、貴重な「宝」なのです。

 

3 応用問題を解くとき
分からないときに、解答・解説をすぐ見るのはわるいことではありません。
私は解説をバンバン見る派でした。解き方をすぐにでも知りたい派でした。
時間をかけて自力で解くことも大切ですが、それ以上に解き方のパターンをたくさんマスターする練習をするほうが先なのです。
解き方のパターンをたくさん知り、その経験力をいっぱい貯金しましょう。
問題を解く練習に必要な能力、それは「解説を理解する読解力」です。
「読解力」こそ勉強のすべてです。
これさえあれば自宅で一人勉強するときもサクサク進みます。
もし解説を読んでも理解できないときは読解練習が必要ですので相談・質問に来てください。

 

4 勉強時間について
同じことをやるなら、なるべく短い時間で済ませたいものです。
「だらだらやる」「何かをしながらやる」というのは私の嫌いなパターンです。
まあ、嫌いな勉強をやらないよりは、音楽を聴きながらでもやったほうがまし、という意見もあるでしょうが・・。
「何時間勉強すればいい?」という質問もたまにありますが、意味がありません。
時間より「内容」「質」が大切です。勉強の結果、得たものの量が大切です。
能率の良し悪しで決まります。
入試そのものが時間制限のある戦いなので、日ごろから早くてきぱきとこなす習慣をつけておきたいものです。

 

※ とは言え、長時間やることも、それなりの意味はあります。だらだらでなく、集中した長時間勉強のあと、初めて自分のものになり自信がわいてきたりします。

 

5 飽きてきたとき
集中できない状態になったら、だらだらやってても仕方ないので、やめましょう。
眠かったら寝ましょう。遊びたかったら遊びましょう。
気分転換も大切ですから、ちがうことをやって気持ちをリフレッシュさせましょう。

 

6 その他
ノートのとり方のおススメは、(B5)1ページを縦に区切って、2列に使う方法です。
数学的には1ページは横が長過ぎるので、半分ぐらいがちょうど良いです。

 

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夏休みの自由研究 やり方はこれだ!!

 夏休みの自由研究は、次のようにやってみて下さい。だらだらと書いてはいけません。書く形式のパターン、大まかな決まりのようなものがあるからです

 

おおよそ次のような項目に分けて書いてゆきます。

 

「テーマ・題材」
(1)「動機・きっかけ」
(2)「実験・観察の方法を考える」
(3)「結果の予想・はじめの仮説」
(4)「実験・観察を実行する」
(5)「結果整理」
(6)「新しい発見・分かったこと」
(7)「失敗談・工夫点・反省」

 

まず「テーマ・題材」ですが、これは初めの項目として書く(1)「動機・きっかけ」と一緒に考えましょう。大切なことは、疑問をもつことです。どうなっているのだろう、あれが知りたい、これも知りたいと、好奇心をもつことです。そしてそれを調べることが自由研究なのです。

 

ですから、理科に限らず、算数・数学、社会、何でも研究の余地はあります。こういう日常の出来事から、こんな疑問がわきました。だからこんな方法で調べてみようと考えました。これが、「動機・きっかけ」に盛り込む内容です。

 

(2) さて、テーマが決まってきたら、具体的な観察や実験の方法をじっくりと検討する段階に入ります。必要な道具や器具は何なのか、いつやるのか。下調べとしてどの程度の基礎知識を持っているべきか。思いつくことを片っ端からメモしておきましょう。
さらに、もし誰かと共同してやるのなら、他の人の日程も考慮に入れながら、スケジュールを早めに決める必要があるでしょう。

 

(3) 次に、いきなりやり始めてはいけません。「結果の予想」をして下さい。こうなっていると思う。こんな理由できっと結果はこうなるに違いない。誰々はこんな理由でこう言っていましたが、私はこう思います。筋道の通ったしっかりとした理由・根拠とともに、あなたの予想した考えをたっぷりと書いておいて下さい。

 

(4) そして、いよいよ「実験・観察」を開始します。開始の日時、道具、方法、等ありとあらゆる状況をメモする事をお忘れなく。観察はなるべく長期間にわたるものがよいでしょう。実験も失敗や工夫をそのつど繰り返して、改良するようにして下さい。いろいろな違った状況での繰り返しや観察を行って、できる限りたくさんのデータを集めなければいけません。

 

(5) 「結果整理」は、表にしたり、グラフにしたり、絵や写真に残したりします。とにかく見やすさ第一でいきましょう。見る人が飽きないように、色を使ったり、立体的なグラフにしたり、いろいろと違った視点からの整理をして、何を聞かれてもいいようにたくさんまとめておきましょう。

 

(6) さて、これからが大事です。この研究を通じていったいどんなことが新たに見つかったのか「新しい発見・分かったこと」を、感動的に書いて下さい。物語のクライマックスは実はここにあるのです。 新大陸を発見したコロンブスのように、「こうなっていたのか」という真実を知った喜びを表現して下さい。それと共に初めの予想との食い違いや、合致した点、なぜ予想が違ったのか、思いつく原因なども書いておきましょう。

 

(7) 最後は「失敗談・工夫点・反省」を謙虚に書いて幕を閉じるのです。ちょっとしたアクシデント、エピソード、多少わきにそれた話でもよいでしょう。関係あることは細大もらさず何でも書いてよいです。そうして、しんみりとした余韻、もう少し詳しく知りたいのにな、というジーンとした後味を残すようにして終われば最高です。

 

以上、いろいろ書いてきましたが、最後に、ぜひとも言っておきたいことがあります。
それは・・・
「オリジナルな自由研究をしよう!」

 

自由研究(または広く科学)というのは、実験や研究に決まった手順や方法は「ない」です。
決まった方法があるなら、もう結果も分かっていて、誰かが前にやったことのマネみたいで、おもしろくありません。

 

大切なことは、自分の感じる疑問や知りたいと思ったことに、自分で答えを見つけようとすることです。
何にもしばられることはありません。
「なぜ」と感じたら、「知りたいこと」を確かめる実験をすればよいわけです。

 

疑問に思ったことを、片っ端から実験してみて下さい。
実験する前には、いろいろ予想して、ほんとうにそうなのか、自由に実験してよいのです。・・・予想が違ってくることもあるでしょう。
そうしたら、なぜそうなったのかいろいろ推理して、さらに次の実験を考えるのです。

 

自由研究は、やり方が正しいとかまちがっているとかを決めるものではなく、自分なりに苦労したり、工夫したり、考えたり、そして、発見したりするからこそ価値があって、やってて楽しいのです。
他の人(先生とか)が見て、感動して、「すごいなぁ」と思ってくれるのは、そういう研究です。

 

エジソンは、「999回も失敗した」と報告する助手に対して、「それは失敗ではない。999のうまく行かない方法を発見したんだ」と、言って誉め、その結果を活用しました(そうです)。

 

ノーベル賞の小柴氏は、アルミが必要になった時、1円玉を大量に両替して使ったといいます。
そんなことは教科書には書いてないけれど、自分の工夫ですから、かけがえのない貴重な価値があります。

 

自由研究で大切なのは、自分で好きなようにやること、そして、結果ではなく、途中の苦心や工夫です。
それがみなが読みたい内容です・・。

自由研究(スマホアプリを作る)

Androidアプリを作ってみよう

 

すごい時代になりました。
以前だったら、知りたいことがあってもなかなか調べられませんでした。しかたなく、本屋や図書館へ行きますが、東京の大きな書店まで行かなければ調べられないこともあります。ようやくお目当ての本を買ったとしても、詳しく載ってなくて、さらに先を調べるために、また最初から探し直しになったりします。時間も費用もかかります。

 

ところが今は、世界がネットでつながっていて、パソコンに向かって検索をかけるだけで、どんな知識でも簡単に手に入ってしまいます。ほぼ時間ゼロ、費用もゼロです。
世界中の人たちが同じ高度な情報を共有できるような時代になってしまいました。
外へ出れば、最近はスマホとかの端末を指でこすっている人がたくさんいます。「スマホ」=多機能な電話ですが、ほとんどパソコンです。いつでもどこでもインターネットのできるコンパクトなパソコンです。

 

スマホでいったいみんなは何をしているのでしょうか。 ゲーム? 会話? 読書?
もし遊びで使っているとしたら、すごくもったいないことだと思います。スマホに遊ばれて貴重な時間と知力を奪われています。
どうせなら、知力を鍛錬するために時間を使ってみたいと思いませんか。

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今回の参考書

というわけで、今回は スマホのアプリを作る方法を研究してみました。
スマホと言っても大きく3系統あります。Android、iOS、Windowsがそれです。
今回はAndroidアプリを作りたいと思います。そのためには次のような道具をパソコンにインストールする必要があります。

 

(1) JDK(Javaの開発環境)Javaはアプリを作るためのプログラミング言語
(2) Eclipse(アプリの統合開発環境)
(3) Android SDK(Androidアプリを作るための開発キット)

 

そのあとは、試行錯誤・果てしない探求の試練が待っています。特にプログラミングは苦しくもあり楽しい時間となるでしょう。自分の命令を忠実に実行するマシンの組み立てですから。そして無事にアプリが完成したらGoogle Playに公開することができます。
(ただし公開には開発者登録が必要で25ドルかかります。それ以降は一切不要)

 

以上、ざっと流れを書いてみましたが、一つ一つがとても大変で、必ず壁にぶち当たります。ちょうど難しい数学の問題でも解いているような感じで、そのつど調べまくったり、悩み続けたり、やめたくなったりします。でも、苦労して得た知識って貴重です。忘れないし、他にも応用できるし、集中力もつくし、そして何よりも考え方のパワーが増します。
みなさんもぜひ「悪戦苦闘する創造・研究・開発」をしてみてください。